Résoudre une équation de degré 3 dans C - Corrigé

Énoncé

On considère l'équation  \((E)\;: \ 2 z^3 + 9 z^2 + 7 z + 12 =0.\)

1. Montrer que, pour tout \(z \in \mathbb{C},\)
\(2 z^3 + 9 z^2 + 7 z + 12 = (z+4)(2z^2+z+3).\)

2. En déduire l'ensemble des solutions de \((E)\) .

Solution

1. Pour tout \(z \in \mathbb{C},\)    \((z+4)(2z^2+z+3) = 2z^3+z^2+3z + 8z^2+4z+12 =2 z^3 + 9 z^2 + 7 z + 12\) .

2.  \(S= \left\{ -4 \;; -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{23}}{4} i \;; -\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{23}}{4} \right\}\) .